概率论初步

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概率论

概率论是集中研究概率及随机现象的数学分支

大数定律

在实验条件不变的情况下，如果实验次数趋于正无穷，则随机事件的频率近似于它的概率。

小数定律

人们往往有对大样本得到的结论错误移植到小样本的倾向。

换言之，就是对大数定律的错误理解。

比如，因为事件的随机性，在最初一事件的频率小于概率，就会错误地以为在之后的测试中该事件的频率会高于频率以使最终频率与概率近似相等。

然而，大数定律所表示的是在样本空间足够大的情况下，频率的波动带来的影响忽略不计。

随机性是不变的制约因素。

事件

事件，又称随机事件，为样本空间的一个子集。

只要样本空间有限，则在样本空间内的任何一个子集，都可以称为一个事件。然而，在样本空间无限时，就常常不能定义所有的子集为随机事件了。

事件之间的关系：

  1. 包含 B∈A 事件A包含另一事件B 只要B发生，事件A一定发生。

  2. 等价 A=B 两个事件对应的子集完全相等

  3. 对立 两个事件只发生一个，并且必然发生一个

  4. 互斥 两个事件只发生一个，但并不必然发生一个，互斥事件的概率总和为两事件概率之和

  5. 两个独立事件同时发生的概率为各自概率的乘积

    根据venn图和集合的相关知识，可以明确关系

条件概率

事件A在另外一个事件B已经发生条件下发生的概率，记作P(A|B)

联合概率指两个事件共同发生的概率，记作P(A∩B)

条件概率的数值为{P(B\cap A) \over P(B)}

期望

若随机变量X的取值有x1,x2……一个随机事件可表示为X=Xi，其概率为P(X=Xi)=pi。则称E(X)=∑pi*xi为随机变量X的 数学期望，即随机变量取值与概率乘积之和。

例 在掷两次骰子的点数实验中，样本空间是由36个样本点构成的集合。

写作(a,b)1<=a,b<=6 随机事件描述为掷出X点

P(X=8)=5/36

掷出的点数的数学期望为

1/36*(2+12)+1/18*(3+11)+1/12*(4+10)+1/9*(5+9)+5/36*(6+8)+1/6*7=7

数学期望是线性函数，满足E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

显然，上述问题简化了，设X为掷一次的点数

E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5 E(2X)=2E(X)=7